研究実施項目

建築設計および造船設計においては自由曲面生成の革新的研究が喫緊の課題である。本研究では形状生成の曲線法線マップ画像の画像処理から区分可展面で近似する方法について提案する。

1. 本申請の基軸である可展面による自由曲面の近似方法の確立
2. 法線マップの画像処理による曲面情報の２次元化
3. エッジ保持平滑化による区分線の明確化
4. 最適化問題解法に基づく区分可展面の生成

研究概要

1. NURBSで表現された自由曲面のパラメーター空間に区分線をひき、この区分線を曲面に写像し、写像された曲線に沿って単位接触ダルブーベクトル (osculating Darboux vector)方向に準曲線(direction curve)を引き可展面を用いて自由曲面を近似する.　図1(a)の例では、パラメータ空間に三本の区分線を引き、領域を4分割している. 幾何形状の離散表現手法および、その対話的な設計手法について開発を行う三谷グループと共同研究を行うことによって研究の相乗効果を図りたい.また、三浦グループとは区分曲線の形状について共同研究をする予定である.
2. 区分可展面の自由曲面に対応する曲面上の単位法線ベクトルを計算し，そのx, y, z 成分(nx, ny, nz)の大きさに応じてピクセルにRGB色を割り当てて法線マップ画像（図1(a)参照）を作成する．一般には，曲面上の長さとu,v -パラメータ(ピクセル上)の長さは異なる．従って，パラメータに対する曲面上の長さの変化率，即ちパラメトリックスピードが一定となる範囲に曲面を分割して法線マップ画像を作成する必要がある．ただし，計算時間を無視すれば，グリッド間隔を狭くすることによって対応できる．このようにして、曲面の法線を介して3次元情報を2次元画像に変換することにより，これまでに開発された様々な画像処理技術を法線マップ画像に適用することが可能となる．
3. 可展面の条件として準曲線に沿う法線は一定となるため、同じ色になるという拘束条件をつけて, 画像をさらに編集することができる.　また, エッジ保持平滑化フィルタを画像に施すことによって区分線をハッキリさせることが可能となる.
4. 編集された法線マップの法線に基づき、曲面上の2方向の接線が編集された法線 と直交することと元の自由曲面の制御点からあまりずれないようにするという拘束条件と合わせて目的関数を作成する. 制御点を未知数として最適化問題を解き、区分可展面を生成する(図1(b)参照)。最適化には，目的関数の勾配を必要としないBound Optimization BY Quadratic Approximation (BOBYQA) method　(Powell (2009))を採用する予定である．

研究構想における位置づけ

可展面の微分幾何学は数学の分野では広く研究されているが, 区分可展面の研究は始まったばかりである. 区分可展面を実際に建築や造船などの構造物に適用するには、さまざまな課題が残されている. 例えば、材料の選定、加工性、施工性、耐久性なども実用化には重要な研究課題である. 今回の申請では、世界に先駆けて自由曲面を法線マップの画像処理を介して, 区分可展面を生成する方法を開発する.曲面の生成は純粋数学の立場からは法線マップ（ガウス写像）から曲目を復元する逆問題と包括的に捉えることができる．本研究計画の目標とする、区分的に連続な曲面の幾何学の構築を逆問題の観点から支援する体制を組むことができ、本申請の研究計画全体の目標達成において必須である。また三浦グループによる「意匠設計用自由曲面」との協働により、アート性の高い自由曲面を区分可展面で設計することが可能になり、工業デザインにおける大きなブレイクスルーが期待できる。

参考文献

1. T. Maekawa and J. S. Chalfant, “Design and Tessellation of B-Spline Developable Surfaces”,
   Journal of Mechanical Design, ASME Transactions, 120 (3) pages 453-461, 1998.
2. J. S. Chalfant and T. Maekawa, “Design for Manufacturing Using B-Spline Developable Surfaces”, Journal of Ship Research, 42 (3) pages 206-214, 1998.
3. T. Maekawa and J. S. Chalfant, “Computation of Inflection Lines and Geodesics on Developable Surfaces”, Mathematical Engineering in Industry, 7 (2) pages 251-267, 1998.
4. G. Yu, N. M. Patrikalakis and T. Maekawa, “Optimal Development of Doubly Curved Surfaces”, Computer Aided Geometric Design, 17 (6) pages 545-577, 2000.
5. M. Takezawa, T. Imai, K. Shida, and T. Maekawa, "Fabrication of freeform objects by principal strips" ACM Transactions on Graphics 35 (6) 225, 2016.
6. T. Kawasaki, P. K. Jayaraman, K. Shida, J. Zheng and T. Maekawa, “An Image Processing Approach to Feature-Preserving B-Spline Surface Fairing”, Computer-Aided Design, 99, pages 1-10, 2018