研究実施項目

1. 可展面においてガウス曲率K=0, 極小曲面・膜構造では平均曲率H=0のように，各クライン幾何における不変量から，対数型美的曲線相当の曲線を定式化する. さらに，その不変量を保った曲線の変形法，不変量の時間変化を記述し「流れ」式を理論解析により発見する．
2. (1)で見出した不変量を保った変形法を商用CADシステム(Rhino3D)のプラグインとし実装する. 実用上重要な，与えられた平面曲線を端点，およびそこでの接線方向を固定して内挿する曲線を変形(スムージングやフェアリング)する，高精度で安定なアルゴリズムを研究・開発・実装する．
3. クライン幾何の枠組みを用いた「美的曲面」の概念を提唱しその定式化を行う．また，その生成法を実装する．
4. (3)で提案した「美的曲面」を可展面や膜構造に限定し，「可展美的曲面」や「膜構造美的曲面」を提案する．さらに，その曲面を建築や造船に応用する場合の問題点について検討するとともに，問題があれば解決法を検討する．

研究概要

設計工学では曲線・曲面としてB-スプラインがよく使われているが，その曲率は制御点位置の微小な移動により大きく変動してしまう．三浦はこの欠点を解消するために「対数型美的曲線」を定式化し意匠デザインへの応用を提案している．図1に対数型美的曲線を用いた意匠デザイン例を示す．対数型美的曲線は対数螺旋，クロソイド，Nielsen 螺旋など著名な曲線を含み，三浦は商用CAD ソフトウェアにプラグインとして実装した．しかしながら，工業製品の意匠デザインに対して曲線の表現力がまだまだ不十分であり，ものづくりの現場に浸透していない．また，その数学的な特徴付けが明確でなく，拡張の手がかりに欠けていた．三浦らの近年の研究により，表1に示すように対数型美的曲線はクライン幾何の一つの相似幾何によりその本質が捉えられことが明らかになっている．

本研究では，他のクライン幾何による理論的枠組みを導入し，対数型美的曲線をさらに拡張して設計工学にこれまで使われてこなかった新しい曲線を創出することを目的とする．具体的には，まず等積幾何，メビウス幾何，双曲幾何等に対して，各幾何での不変量から対数型美的曲線に相当する曲線を求める．さらにその不変量を維持する変形，時間軸を追加することで「流れ」式を導出し，その時間変化による変形を研究・開発・実装する．対数型美的曲線の曲面化は未解決問題であり，クライン幾何の理論を駆使することで，設計工学で利用できる曲面を定式化する．

研究構想における位置づけ

相似幾何は幾何学的対象の群作用に関する不変性を研究するクライン幾何の一つで，数学としては正統的で古典的な対象ではあるが，特に応用がなく深く研究されてこなかった．一方，対数型美的曲線は設計工学でユークリッド幾何に基づき研究されてきたが，本質をつかむことが難しく，特に空間曲線や曲面への拡張は有力な手がかりがなかった．この状況から，本研究は設計工学，クライン幾何の理論，（離散）微分幾何の3 領域に革新的な発想と展開を与える．設計工学に，クライン幾何による，本質に根ざした簡明で明確な理論的枠組みを導入し，クライン幾何の立場から設計工学によい構造をもつ曲線・曲面を導入するのが本研究の目標である．本研究は，設計工学の数理的問題に対して，可積分系の理論と微分幾何の協働で問題解決し，これまでにない多様な曲線や曲面を導入することで設計工学に革新をもたらし意匠デザインをよりいっそう豊かにする点に大きな意義がある．

参考文献

1. J. Inoguchi, K. Kajiwara, K.T. Miura, M. Sato, W. K. Schief, Y. Shimizu, Log-aesthetic curves as similarity geometric analogue of Euler’s elasticae, Computer Aided Geometric Design (2018).
2. K.T. Miura, R.U. Gobithaasan, Aesthetic design with log-aesthetic curves and surfaces, Mathematical Progress in Image Synthesis III, Vol. 24 (Springer, 2016), pp.107-119.
3. K.T. Miura, R.U. Gobithaasan, Aesthetic curves and surfaces in computer aided geometric design, International Journal of Automation Technology, Vol.8, No.3, pp. 304-316, 2014.
4. K. Kajiwara, T. Kuroda, N. Matsuura, Isogonal deformation of discrete plane curves and discrete Burgers hierarchy, Pac. J. Math. Ind. 8(1) (2016) 1–14.
5. J. Inoguchi, K. Kajiwara, K.T. Miura el al., Log-aesthetic curves as similarity geometric analogue of Euler’s elasticae, Computer Aided Geometric Design, Vol.61, pp.1-5, 2018.
6. K.T. Miura, S. Suzuki, R.U. Gobithaasan, S. Usuki, A New Log-aesthetic Space Curve Based on Similarity Geometry, CAD and Applications, 16(1), 79-88, 2019.